Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，如果x∈R^*时，f（x）＜0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（x）=-

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，求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数．
（2）根据抽象函数的表达式，结合函数单调性的定义即可判断函数y=f（x）的单调性；
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数，从而可判断其最值在端点处取得，再由f（x）=-

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，及已知条件即可得到答案；

解答： 证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得f（0）=2f（0），
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．
解：（2）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）
∵x∈R^*时，f（x）＜0
∴f（x₁-x₂）＜0
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（x）_min=f（6）=6f（1）=-3．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，考查抽象函数的奇偶性、单调性，考查抽象函数最值的求法，考查学生解决问题的能力．利用抽象函数的对应关系以及定义法是解决本题的关键．