Question

4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（　　）

• A． bf（lna）＜af（lnb）
• B． bf（lna）=af（lnb）
• C． bf（lna）＞af（lnb）
• D． bf（lna）与af（lnb）的大小不确定

Answer 1

分析 由题意可知f'（x）-f（x）＞0，构造辅助函数，求导，则g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，由lna＜lnb，则g（lna）＜g（lnb），即可求得bf（lna）＜af（lnb）．

解答 解：由f'（x）＞f（x），即f'（x）-f（x）＞0，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，g（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
由任意正数a，b，且a＜b，则lna＜lnb，
∴g（lna）＜g（lnb），则$\frac{f（lna）}{a}$＜$\frac{f（lnb）}{b}$，
∴bf（lna）＜af（lnb），
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．