Question

已知函数f（x）=lg

2x

ax+2-a

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）a=1时，若关于x的方程f（x）=lg（m+x）解集为空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若使函数f（x）=lg

2x

ax+2-a

的解析式有意义，自变量x须满足：

2x

ax+2-a

＞0，对a进行分类讨论，可得函数f（x）的定义域；
（2）a=1时，若关于x的方程f（x）=lg（m+x）解集为空集，则方程

2x

x+1

=m+x在区间（-∞，-1）∪（0，+∞）无解，即方程x²+（m-1）x+m=0在区间（-∞，-1）∪（0，+∞）无解，则方程x²+（m-1）x+m=0无解，或方程x²+（m-1）x+m=0的在均在[-1，0]上，进而可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）若使函数f（x）=lg

2x

ax+2-a

的解析式有意义，
自变量x须满足：

2x

ax+2-a

＞0，
当a＜0时，解得：0＜x＜

a-2

a

，
当a=0时，解得：x＞0；
当0＜a＜2时，解得：x＜

a-2

a

，或x＞0；
当a=2时，

2x

ax+2-a

=1＞0恒成立；
当a＞2时，解得：x＜0，或x＞

a-2

a

，
故当a＜0时，函数f（x）的定义域为（0，

a-2

a

）；
当a=0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
当0＜a＜2时，函数f（x）的定义域为（-∞，

a-2

a

）∪（0，+∞）；
当a=2时，函数f（x）的定义域为R；
当a＞2时，函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（

a-2

a

，+∞）；
（2）当a=1时，f（x）=lg

2x

x+1

．函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（0，+∞）
若方程f（x）=lg（m+x）解集为空集，
则方程

2x

x+1

=m+x在区间（-∞，-1）∪（0，+∞）无解，
即方程x²+（m-1）x+m=0在区间（-∞，-1）∪（0，+∞）无解，
则方程x²+（m-1）x+m=0无解，或方程x²+（m-1）x+m=0的在均在[-1，0]上，
即△=（m-1）²-4m＜0或

△＞0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ 1-m 2 ≤0

，
解得：3-2

2

＜m＜3+2

2

，
故实数m的取值范围为（3-2

2

，3+2

2

）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域及其求法，难度中档．