Question

设a∈（

3π

2

，2π），6sin²a+5sinacosa-4cos²a=0，试求cos（

a

2

+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由已知化简可得6tan²a+5tana-4=0，从而根据角的范围即可求得tana的值，从而可得cosα的值，即可求出cos

α

2

，sin

α

2

的值，用两角和的余弦公式展开所求后代入即可求值．

解答： 解：∵6sin²a+5sinacosa-4cos²a=0，
∴6tan²a+5tana-4=0
∴（3tana+4）（2tana-1）=0
∵a∈（

3π

2

，2π），
∴tana=-

4

3

∵1+tan²a=

1

cos2α

=1+

16

9

=

25

9

∴cos²a=

9

25

∴cosa=

3

5

，sina=-

4

5

∵a∈（

3π

2

，2π），
∴

α

2

∈（

3π

4

，π），
∴cos

α

2

=-

1+cosα 2

=-

2 5

5

，sin

α

2

=

1-cosα 2

=

5

5

∴cos（

a

2

+

π

3

）=cos

a

2

cos

π

3

-sin

a

2

sin

π

3

=

1

2

×(-

2 5

5

)-

3

2

×

5

5

=-

2 5 + 15

10

．

点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，半角公式，同角三角函数公式的应用，综合性强，计算量大，属于中档题．