Question

已知log₉x=（log₃y）²．
（1）若x=3y，求x，y的值；
（2）当x，y为何值时，

x

y

取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考点：对数的运算性质,基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若x=3y，则由条件求得log₃y 的值，可得y的值，从而求得对应的x的值．
（2）令

x

y

=k，则由条件可得 log₃k=（log₃y）²-log₃y，利用二次函数的性质可得当 log₃y=

1

2

时，log₃k取得最小值为-

1

4

，从而求得当x，y为何值时，

x

y

取得最小值．

解答： 解：（1）若x=3y，则由 log₃x=（log₃y）²，可得 1+log₃y=（log₃y）²，
求得log₃y=

1- 5

2

，或log₃y=

1+ 5

2

．
∴

x= 3-3 5 2 y= 1- 5 2

，或

x= 3+3 5 2 y= 1+ 5 2

．
（2）令

x

y

=k，则由log₃x=（log₃y）²，可得log₃k+log₃y=（log₃y）²，
即 log₃k=（log₃y）²-log₃y，故当 log₃y=

1

2

时，log₃k取得最小值为-

1

4

，
此时，x=

4	3

，y=

3

，k最小为3-

1

4

=

1

4 3

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，二次函数的性质，属于基础题．