Question

15．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥BC，AB⊥AC，PA=1，BC=2．D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE、DF、EF．
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）求三棱锥P-ABC的体积最大值；
（3）当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，求证：平面AEF⊥平面PEF．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面PAC，得AB⊥PA，又PA⊥BC，由此能证明PA⊥平面ABC．
（2）当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，AB=AC，由此能求出三棱锥P-ABC的体积最大值．
（3）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AEF⊥平面PEF．

解答 证明：（1）∵平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，
∵PA⊥BC，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABC．
解：（2）当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，AB=AC，
设AB=AC=x，则2x²=4，解得AB=AC=$\sqrt{2}$，
此时${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∴三棱锥P-ABC的体积最大值V_max=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
证明：（3）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，1），C（0，$\sqrt{2}$，0），A（0，0，0），
E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{PE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PF}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），
设平面PEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{m}=\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{PF}=\frac{\sqrt{2}}{2}b-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，
∴平面AEF⊥平面PEF．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查三棱锥的体积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．