Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，AD=3，PA=AB=2，∠PAD=120°，点Q在线段AD上，DQ=1，点M在线段PB上，BP=3BM．
（Ⅰ）证明：AM∥平面PCQ；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线AC与平面PCQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在BC上取点N，使CN=2，连接AN，AM，结合已知可得AQCN是平行四边形，得AN∥CQ，则AN∥平面PCQ，再由平行线截线段成比例定理可得MN∥PC，得MN∥平面PCQ，由面面平行的判定可得平面AMN∥平面PCQ，得到AM∥平面PCQ；
（Ⅱ）取PQ中点E，连接AE，可得AE⊥PQ．求解三角形可得CQ⊥AD，由面面垂直的性质得到CQ⊥平面PAD，进一步得到AE⊥平面PCQ，得∠ACE为直线AC与平面PCQ所成角．求解直角三角形得答案．

解答 （Ⅰ）证明：在BC上取点N，使CN=2，连接AN，AM，
∵DQ=1，AD=3，AQ=2=CN，
∴AQCN是平行四边形，则AN∥CQ，
∴AN∥平面PCQ，
∵$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BP}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN∥PC，则MN∥平面PCQ，有平面AMN∥平面PCQ．
又∵AM?平面AMN，
∴AM∥平面PCQ；
（Ⅱ）解：取PQ中点E，连接AE，
∵PA=AQ，∴AE⊥PQ．
∵QD=1，CD=2，∠CDQ=60°，
∴CQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴CQ⊥平面PAD，
∴CQ⊥AE，又AE⊥PQ，
∴AE⊥平面PCQ，
∴∠ACE即为直线AC与平面PCQ所成角．
在Rt△AEC中，
∵AE=1，AC=$\sqrt{A{Q}^{2}+C{Q}^{2}}=\sqrt{7}$．
∴sin∠ACE=$\frac{AE}{AC}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查直线与平面所成角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．