Question

18．若sin（α+$\frac{π}{6}$）=3sin（$\frac{π}{2}$-α），则cos2α=-$\frac{11}{14}$，tan2α=-$\frac{5\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式、两角和差的三角公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．

解答 解：∵sin（α+$\frac{π}{6}$）=3sin（$\frac{π}{2}$-α），∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα=3cosα，∴tanα=$\frac{5}{\sqrt{3}}$，
则cos2α=$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=$\frac{1{-tan}^{2}α}{1{+tan}^{2}α}$=$\frac{1-\frac{25}{3}}{1+\frac{25}{3}}$=-$\frac{11}{14}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{\frac{10}{\sqrt{3}}}{1-\frac{25}{3}}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，
故答案为：-$\frac{11}{14}$；$\frac{5\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．