Question

已知函数f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，x≥2

，若对于正数k_n（n∈N^*），直线y=k_n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则

lim

n→∞

（k₁²+k₂²+…+k_n²）=

 

．

Answer 1

考点：函数的图象,分段函数的应用,极限及其运算

专题：综合题

分析：由函数f（x）是分段函数求出各段内的表达式，画出草图，得到直线和y=f（x）交点的规律，列方程组求出

k

2 n

的值，问题得解．

解答： 解：∵当0≤x＜2时，f（x）=

1-(x-1)2

，
当2≤x＜4时，0≤x-2＜2，
∴f（x-2）=

1-[(x-2)-1]2

=

1-(x-3)2

，
当4≤x＜6时，0≤x-4＜6，
∴f（x-4）=

1-[(x-4)-1]2

=

1-(x-5)2

，
 以此类推…，
∴函数f（x）的图象如图所示：

当n=1时，y=k₁x与函数y=f（x）的图象恰有3个不同交点，
此时，y=k₁x与第一个半圆相交与第二个半圆相切，
当n=2时，y=k₂x与函数y=f（x）的图象恰有5个不同交点，
此时，y=k₂x与前两个半圆相交与第三个半圆相切，…，
当n=n时，直线y=k_n•x与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，
此时，y=k_nx与前n个半圆相交与第n+1个半圆相切，
于是有；

y=knx y= 1-(x-2n-1)2

⇒（

k

2 n

x2+1）-2（2n+1）x+（2n+1）²-1=0
⇒△=[2(2n+1)]2-4

(k

2 n

+1)[(2n+1)2-1]=0，
解得：

k

2 n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

k

2 1

+

k

2 2

+

k

2 3

+…+

k

2 n

=

1

4

（1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

（1-

1

n+1

），
 
则

lim

n→∞

（k₁²+k₂²+…+k_n²）=

lim

n→∞

1

4

（1-

1

n+1

）=

1

4

．

点评：本题主要考察了分段函数，函数的图象及性质，数列裂项求和以及求极限值，是一道综合题．