Question

4．如图，PA切⊙O于点A，PBC是割线，弦CD∥AP，AD交BC于点E，F在CE上，且ED²=EF•EC．
（1）求证：∠EDF=∠P；
（2）若CE：EB=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论．
（2）求出EB，根据相交弦定理得到AE，利用三角形相似求出PE，再利用切割线定理求出PA．

解答 证明：（1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．…（5分）
解：（2）设CE=3k，EB=2k，
由ED²=EF•EC，DE=6，EF=4，得CE=9，
∴EB=6                              …（6分）
由相交弦定理有AE•DE=CE•BE，可得AE=9 …（7分）
由（1）知∠C=∠P，且∠CED=∠AEP，
∴△CED∽△PEA，∴$\frac{PE}{CE}=\frac{AE}{DE}$，∴PE=$\frac{27}{2}$，…（9分）
∴PB=PE$-BE=\frac{15}{2}$，
由切割线定理得
$P{A}^{2}=PB•PC=\frac{15}{2}×$（$\frac{27}{2}+9$）=$\frac{15}{2}×\frac{45}{2}$，…（11分）
解得PA=$\frac{15}{2}\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查三角形相似的判定和性质，考查两条直线平行的性质定理，考查相交弦定理、切割线定理，属于中档题．