Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．
（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明PC⊥面PAB即可证明平面PAC⊥平面PAB；
（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点的空间直角坐标系如图：求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可二面角P-AC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵半圆O以BC为直径，
∴PC⊥PB，
∵平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，ABCD是矩形，
∴AB⊥底面BPC，则AB⊥PC，
∵AB∩BP=B，
∴PC⊥面PAB，
∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PAB，
（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点，OP，OE，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，-1，1）
$\overrightarrow{PA}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，0），
则平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PAC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵二面角P-AC-D是钝二面角，
∴二面角P-AC-D的余弦值是-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．