Question

16．已知点P（-1，4）及圆C：（x-2）²+（y-3）²=1．则下列判断正确的序号为②③．
①点P在圆C内部；
②过点P做直线l，若l将圆C平分，则l的方程为x+3y-11=0；
③过点P做直线l与圆C相切，则l的方程为y-4=0或3x+4y-13=0；
④一束光线从点P出发，经x轴反射到圆C上的最短路程为$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 由圆C的标准方程求出圆心坐标和半径，由两点之间的距离公式判断出①；根据直径平分圆和点斜式方程求出直线l的方程判断②；由题意设出直线l的方程为y-4=k（x+1），由直线与圆相切的条件和点到直线的距离公式列出方程求出k，化简后即可判断③；根据入射光线与反射光线的对称性、圆外一点与圆上一点距离最值问题判断④．

解答 解：由题意得，圆心C（2，3）、半径r=1，
①、由于|PC|=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{10}＞$ 1，则点P在圆C外部，①不正确；
②、若l将圆C平分，则l过圆心（2，3），
所以直线l的方程：y-3=$\frac{4-3}{-1-2}$（x-2），即x+3y-11=0，②正确；
③、由题意设过点P直线l的方程为y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0，
∴$\frac{|2k-3+k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，化简解得k=0或k=$-\frac{3}{4}$，
代入可得直线l的方程是y-4=0或3x+4y-13=0，③正确；
④、∵点P（-1，4）关于x轴对称的点P′（-1，-4），
∴从点P出发，经x轴反射到圆C上的最短路程转化为：
点P′与圆C上点之间的距离的最小值，
∵P′C=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3+4）^{2}}$=$\sqrt{58}$，∴所求的最短路程是$\sqrt{58}$-1，④不正确，
故答案为：②③．

点评 本题考查了点、直线与圆的位置关系，圆的切线性质，圆外一点与圆上一点距离最值问题等，以及两点之间、点到直线的距离公式，考查知识点多，较综合．