Question

已知f（x）=ax²-3x-4
（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范围．
（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范围．
（3）解关于x的不等式：f（x）≥0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解不等式即可，（2）中将a≥

3x+4

x2

转化为求函数y=

3x+4

x2

的最值问题，（3）里的解不等式问题需将a分情况进行讨论．

解答： 解：（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立
令g（a）=ax²-3x-4，
∴

g(1)≥0 g(2)≥0

，
即

x2-3x-4≥0 2x2-3x-4≥0

，
解得：x≥4，或x≤-1．
∴x的范围为：{x|x≥4，或x≤-1}．
（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立
?ax²-3x-4≥0在x∈[1，2]上恒成立
a≥

3x+4

x2

在x∈[1，2]上恒成立
y=

3x+4

x2

=4×(

1

x

)2+3(

1

x

)，

1

x

∈[

1

2

，1]
y_max=7，
故a的范围是[7，∞）．
（3）由ax²-3x-4≥0
①a＞0时，△=9+16a＞0恒成立，
解集为：{x|x≥

3+ 9+16a

2a

或x≤

3- 9+16a

2a

}，
②a=0时，解集为：{x|x≤-

4

3

}，
③-

9

16

≤a＜0时，
解集为：{x|

3+ 9+16a

2a

≤x≤

3- 9+16a

2a

}，
④a＜-

9

16

时，
解集为：∅．

点评：本题考察了二次函数的性质问题，解题过程中用到了转化思想，分类讨论思想．