Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：
①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；
②存在实数x₁、x₂使，f（x₁）≠f（x₂）．
求证：
（1）f（0）=1；
（2）f（x）＞0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意条件②的运用，舍去一个；
（2）将x，y均换成

x

2

，得到f（x）=f²（

x

2

）即f（x）≥0，注意运用条件②，舍去f（x）=0，即可得证．

解答： 证明：（1）令x=y=0则f（0）=f²（0），
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0则令y=0，即有f（x）=f（x）•f（0）=0对x∈R均成立，与②矛盾，
故f（0）≠0，
若f（0）=1，则f（x）=f（x）成立，
∴f（0）=1；
（2）将x，y均换成

x

2

，则
f（x）=f²（

x

2

）即f（x）≥0，
若f（x）=0这与②矛盾，
∴f（x）＞0成立．

点评：本题主要考查解决抽象函数的常用方法：赋值法和赋式法，正确赋值和赋式是解题的关键，注意条件的充分运用．