Question

16．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x），
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数且当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x，求使f（x）=-$\frac{1}{2}$在[0，2014]上的所有x的个数．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得证．
（2）依题意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，进而求出f（x）=-$\frac{1}{2}$时x的值．再根据函数的周期性求出在[0，2014]上的所有x的个数．

解答 解：（1）证明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-$\frac{1}{2}$x，即f（x）=$\frac{1}{2}$x．
故f（x）=$\frac{1}{2}$x（-1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，
∴f（x-2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2），∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x，-1≤x≤1}\\{-\frac{1}{2}（x-2），1＜x＜3}\end{array}\right.$，
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014，则$\frac{1}{4}$≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2014]上共有503个x使f（x）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了函数的周期性．在解题的时候，要注意函数在不同区间上不同的解析式，这是容易出错的地方．