Question

如图，Q为椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一动点，F（2，0）为椭圆E的右焦点．QF的最小值为1，最大值为5，点A（1，0），点T为直线x=4上一动点，过F点的直线l与AT垂直，l上一点P满足

PA

•

PT

=0．
（1）AP长是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
（2）求PQ最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意设P（x，y），T（4，y₁），由数量积的运算和垂直的条件列出方程，化简后得到关于x、y的方程，判断出点P的轨迹，即可得|AP|的长是定值；
（2）由题意求出a，b得椭圆的标准方程，设Q（x₀，y₀）（-3≤x₀≤3），由点在椭圆上得坐标椭圆的方程，由|PQ|=|CP|-|CQ|列出式子，利用二次函数的性质可求得|PQ|最小值．

解答： 解：（1）由题意设P（x，y），T（4，y₁），
因为AT⊥PF，F（2，0），A（1，0），所以

AT

•

FP

=0，
则（3，y₁）•（x-2，y）=0，即3（x-2）+yy₁=0，①
因为

PA

•

PT

=0，所以（1-x，-y）•（4-x，y₁-y）=0，
即（x-1）（x-4）+y（y-y₁）=0，②，
由①②得，x²-2x+y²-2=0，即（x-1）²+y²=3，
所以点P是以A为圆心、

3

为半径的圆，
则|AP|的长是定值：

3

；
（2）由题意得，F（2，0）为椭圆E的右焦点，F的最小值为1，最大值为5，
所以c=2，a-c=1，且a+c=5，解得a=3，则b²=9-4=5，
所以椭圆方程是：

x2

9

+

y2

5

=1，
设Q（x₀，y₀）（-3≤x₀≤3），则

x02

9

+

y02

5

=1，解得y02=5-

5x02

9

，
由（1）知，点P是以A为圆心、

3

为半径的圆，
所以|PQ|=|AQ|-|AP|=

(x0-1)2+y02

-

3

=

(x0-1)2+5- 5x02 9

-

3

=

4x02 9 -2x0+6

-

3

，
所以当x₀=-

-2

2× 4 9

=

9

4

时，

4x02 9 -2x0+6

取到最小值

15

2

，
此时|PQ|取到最小值

15

2

-

3

．

点评：本题考查直线、圆、椭圆等知识的综合应用，向量数量积运算和垂直条件，考查运算求解能力和探究能力，函数与方程思想及化归与转化思想．