Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中点，AB=2AD=2CD=2，且二面角P-AC-E的大小为

π

4

．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABE高的大小．
（Ⅲ）求直线PA与平面ACE所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱锥的结构特征,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得AC⊥PC，由勾股定理得AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC为三棱锥A-BCE的高，二面角P-AC-E的平面角为∠PCE=

π

4

，从而△PBC为等腰直角三角形，设三棱锥C-ABE的高为h，利用等积法能求出三棱锥C-ABE的高．
（Ⅲ）由已知条件得PB⊥AE，PB⊥CE，从而PB⊥平面ACE，进而直线PA与平面ACE所成的角为∠PAE，由此能求出直线PA与平面ACE所成角的大小．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，则AC为三棱锥A-BCE的高，
且二面角P-AC-E的平面角为∠PCE=

π

4

∵PC⊥BC，E是PB的中点，∴△PBC为等腰直角三角形，
则S△BCE=

1

2

S△PBC=

1

2

，
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ABC，PA=PB=AB=2，
则S△ABE=

1

2

S△PAB=

3

2

，
设三棱锥C-ABE的高为h，
则

1

3

S△ABE•h=

1

3

S△BCE•AC⇒

1

3

•

3

2

•h=

1

3

•

1

2

•

2

⇒h=

6

3

故三棱锥C-ABE的高等于

6

3

．
（Ⅲ）解：∵△PAB是正三角形，
△PBC为等腰直角三角形，且E是PB的中点
∴PB⊥AE，PB⊥CE，且AE∩CE=E，
∴PB⊥平面ACE
则直线PA与平面ACE所成的角为∠PAE，
∵PA=PB=AB=2，E是PB的中点，∴∠PAE=

π

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．