Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a，设SB的中点为M，DM⊥MC．
（1）求证：DM⊥平面SBC；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明DM⊥SB，利用DM⊥MC，即可证明DM⊥平面SBC；
（2）证明BC⊥平面SBD，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可求四棱锥S-ABCD的体积

解答： （1）证明：∵BD=SD=

2

a，∴DM⊥SB．
又∵DM⊥MC，SB∩MC=M，
∴DM⊥面SBC．…（6分）
（2）解：∵DM⊥面SBC，∴DM⊥BC，
又SD⊥平面ABCD，∴BC⊥SD．
∵SD∩DM=D，∴BC⊥平面SBD．…（9分）
∵BD?平面SBD，∴BC⊥BD．
∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD=45°，
∴CD=

2

BD=2a．
∴SABCD=

1

2

(AB+CD)•AD=

3

2

a2．
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD•SD=

2

2

a3．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．