题目内容
定义两个平面向量的一种运算
?
=|
|•|
|sin＜
，
＞，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①
?
=
?
，
②λ（
?
）=（λ
）?
，
③若
=λ
，则
?
=0；
④若
=λ
，且λ＞0，则（
+
）?
=（
?
）+（
?
）；
恒成立的个数是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
①
| a |
| b |
| b |
| a |
②λ（
| a |
| b |
| a |
| b |
③若
| a |
| b |
| a |
| b |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
恒成立的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：阅读型,新定义,平面向量及应用
分析：由新定义，即可判断①；首先运用新定义，再讨论当λ＜0时，即可判断②；
由向量共线得到sin＜
，
＞=0，即可判断③；先由向量共线，得到
+
=（1+λ）
，再由新定义，即可判断④．
由向量共线得到sin＜
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
解答：
解：①
?
═|
|•|
|sin＜
，
＞=
?
，故恒成立；
②λ（
?
）=λ|
|•|
|sin＜
，
＞，（λ
）?
=|λ
|•|
|sin＜
，
＞，
当λ＜0时，λ（
?
）=（λ
）?
，故不恒成立；
③若
=λ
，则sin＜
，
＞=0，得到
?
=0，故恒成立；
④若
=λ
，且λ＞0，则
+
=（1+λ）
，
∴（
+
）?
=|1+λ||
||
|sin＜
，
＞，
而（
?
）+（
?
）=|λ
||
|sin＜
，
＞+|
||
|sin＜
，
＞
=|1+λ||
||
|sin＜
，
＞．
故（
+
）?
=（
?
）+（
?
）恒成立．
综上可知：只有①③④恒成立．
故选C．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
②λ（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
当λ＜0时，λ（
| a |
| b |
| a |
| b |
③若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
∴（
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
而（
| a |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
=|1+λ||
| b |
| c |
| b |
| c |
故（
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
综上可知：只有①③④恒成立．
故选C．
点评：本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键．
练习册系列答案
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| ||
B、
| ||
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| 5 |
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| ||
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|
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