Question

16．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$-lnx，a＞0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）＜x-1在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数f（x）的导函数，利用△分类讨论导函数是否存在零点，根据导函数图形来判断f（x）的单调性；
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，因为x∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．转化为求x-xlnx的最大值；

解答 解：（1）定义域为（0，+∞），由于f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
令m（x）=x²-x+a，
①当△=1-4a≤0，即a≥$\frac{1}{4}$时，f′（x）≥0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当△=1-4a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时，由x²-x+a＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$．
所以f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上是增函数，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上是减函数．
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，
因为x∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．
令g（x）=x-xlnx，g′（x）=-lnx，即g′（x）＜0，
故g（x）=x-xlnx在（1，+∞）上为减函数，
g（x）＜g（1）=1，所以a≥1．

点评 本题主要考查了利用导数与分类讨论法判断函数图形的单调性，以及利用单调性求函数最值，属中等题．