题目内容
下列命题中真命题的个数是（ ）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
+
+
+
=
；
②在四面体ABCD中，若
•
=0，
•
=0，则
•
=0；
③在四面体ABCD中点，且满足
•
=0，
•
=0，
•
=0．则△BDC是锐角三角形
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
=x
+y
+z
（其中x，y，z∈R且x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
| AB |
| BC |
| CD |
| DA |
| 0 |
②在四面体ABCD中，若
| AB |
| CD |
| AC |
| BD |
| AD |
| BC |
③在四面体ABCD中点，且满足
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AB |
| AD |
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
| OP |
| OA |
| OA |
| OC |
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：平面向量及应用
分析：①根据向量的加法法则进行判断；
②根据向量垂直和向量数量积之间的关系进行判断即可；
③根据数量积的定义进行判断即可．
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．
②根据向量垂直和向量数量积之间的关系进行判断即可；
③根据数量积的定义进行判断即可．
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．
解答：
解：①根据向量的加法法则可知
+
+
+
=
，∴①正确；
②令
=
，
=
，
=
，
∵
•
=0，
•
=0，
∴
?(
-
)=
?(
-
)=0，解得
•
=
•
①
?(
-
)=
?(
-
)=0，解得
?
=
?
②，
∴
?
=
?
，即
?
-
?
=
?(
-
)=0，
即
?(
-
)=
?
=0，∴②正确．
③∵
=
-
，
=
-
，
•
=0，
•
=0，
•
=0．
∴
?
=(
-
)?(
-
)=
2＞0，
∴∠CBD为锐角，同理
•
＞0，
•
＞0，
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
=x
+y
+z
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④正确．
故正确是个数有4个，
故选：D．
| AB |
| BC |
| CD |
| DA |
| 0 |
②令
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AC |
| c |
∵
| AB |
| CD |
| AC |
| BD |
∴
| AB |
| AD |
| AC |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| c |
| AC |
| AD |
| AB |
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
∴
| c |
| b |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
即
| AD |
| AC |
| AB |
| AD |
| BC |
③∵
| BC |
| AC |
| AB |
| BD |
| AD |
| AB |
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AB |
| AD |
∴
| BC |
| BD |
| AC |
| AB |
| AD |
| AB |
| AB |
∴∠CBD为锐角，同理
| CD |
| CB |
| DB |
| DC |
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
| 0P |
| OA |
| OB |
| OC |
故正确是个数有4个，
故选：D．
点评：本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，考查学生的推理判断能力．
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