题目内容
下列命题中真命题的个数是（ ）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
+
+
+
=
；
②在四面体ABCD中，若
•
=0，
•
=0，则
•
=0；
③在四面体ABCD中点，且满足
•
=0，
•
=0，
•
=0．则△BDC是锐角三角形
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
=x
+y
+z
（其中x，y，z∈R且x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
| AB |
| BC |
| CD |
| DA |
| 0 |
②在四面体ABCD中，若
| AB |
| CD |
| AC |
| BD |
| AD |
| BC |
③在四面体ABCD中点，且满足
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AB |
| AD |
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
| OP |
| OA |
| OA |
| OC |
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：平面向量及应用
分析：①根据向量的加法法则进行判断；
②根据向量垂直和向量数量积之间的关系进行判断即可；
③根据数量积的定义进行判断即可．
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．
②根据向量垂直和向量数量积之间的关系进行判断即可；
③根据数量积的定义进行判断即可．
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．
解答：
解：①根据向量的加法法则可知
+
+
+
=
，∴①正确；
②令
=
，
=
，
=
，
∵
•
=0，
•
=0，
∴
?(
-
)=
?(
-
)=0，解得
•
=
•
①
?(
-
)=
?(
-
)=0，解得
?
=
?
②，
∴
?
=
?
，即
?
-
?
=
?(
-
)=0，
即
?(
-
)=
?
=0，∴②正确．
③∵
=
-
，
=
-
，
•
=0，
•
=0，
•
=0．
∴
?
=(
-
)?(
-
)=
2＞0，
∴∠CBD为锐角，同理
•
＞0，
•
＞0，
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
=x
+y
+z
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④正确．
故正确是个数有4个，
故选：D．
| AB |
| BC |
| CD |
| DA |
| 0 |
②令
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AC |
| c |
∵
| AB |
| CD |
| AC |
| BD |
∴
| AB |
| AD |
| AC |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| c |
| AC |
| AD |
| AB |
| c |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| c |
∴
| c |
| b |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
即
| AD |
| AC |
| AB |
| AD |
| BC |
③∵
| BC |
| AC |
| AB |
| BD |
| AD |
| AB |
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AB |
| AD |
∴
| BC |
| BD |
| AC |
| AB |
| AD |
| AB |
| AB |
∴∠CBD为锐角，同理
| CD |
| CB |
| DB |
| DC |
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
| 0P |
| OA |
| OB |
| OC |
故正确是个数有4个，
故选：D．
点评：本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，考查学生的推理判断能力．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
设P是椭圆
+
=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（ ）
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 25 |
| A、4 | B、5 | C、8 | D、10 |
下列函数中，为奇函数的是（ ）
A、y=2x+
| ||||||
| B、y=x，x∈{0，1} | ||||||
| C、y=x•sinx | ||||||
D、y=
|
由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）
| A、归纳推理 | B、类比推理 |
| C、演绎推理 | D、以上都不是 |