Question

16．如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2$\sqrt{5}$．

（1）求证：PF⊥平面ABED；
（2）求点A到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．
（2）由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．

解答 解：（1）连结EF，
由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
所以PF⊥BF…（2分）
在图1中，利用勾股定理，得EF=$\sqrt{{6}^{2}+（12-3-4）^{4}}$=$\sqrt{61}$，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P-ABE的高．…（8分）
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得V_A-PBE=V_P-ABE，…（10分）
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×9×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×12×6×2\sqrt{5}$
∴h=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
即点A到平面PBE的距离为$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．