Question

5．北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	n	0.350
第3组	[170，175）	30	p
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185]	10	0.100
合计		100	1.000

（1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．

Answer 1

分析 （1）根据所给的第二组的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，再根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率．
（2）因为在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这两个小组共有30人，利用每一个小组在30人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果．
（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C₆²种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C₂¹C₄¹+1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．

解答 解：（1）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，
第3组的频率p=$\frac{30}{100}$=0.30；
（2）∵第4、5组共有30名学生，
∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第4组：$\frac{20}{30}$×6=4人，第5组：$\frac{10}{30}$×6=2人，
∴第4、5组分别抽取4人、2人；
（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C₆²=15种
满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C₂²+${C}_{4}^{1}$${C}_{2}^{1}$=9种结果，
∴至少有一位同学入选的概率为：$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一道中档题．