Question

设M在曲线y=e^x+

1

ex

上，N点在y=

3

2

x上，则|MN|的最小值为（　　）

• A、

  13

  13

  （4-3ln2）
• B、

  13

  13

  （3-3ln2）
• C、

  13

  13

  （5-3ln2）
• D、

  13

  13

  （3-2ln2）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用平移切线法求出和直线y=

3

2

x平行的切线的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=e^x-e^-x，
由f′（x）=e^x-e^-x=

3

2

，
即2（e^x）²-3e^x-2=0，
解得e^x=2，即x=ln2，
此时y=e^ln2+

1

eln2

=2+

1

2

=

5

2

，
即和直线y=

3

2

x即3x-2y=0平行的切线的切点坐标为（ln2，

5

2

），
则|MN|的最小值d=

|3ln2-2× 5 2 |

32+22

=

|3ln2-5|

13

=

5-3ln2

13

=

13

13

（5-3ln2），
故选：C．

点评：本题主要考查两点间的距离的计算，求函数的导数，利用导数法求出切点坐标是解决本题的关键．