Question

已知函数f（x）=

sinπx

πx+π1-x

（x∈R）．下列命题：
①函数f（x）既有最大值又有最小值；
②函数f（x）的图象是轴对称图形；
③函数f（x）在区间[-π，π]上共有7个零点；
④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．
其中真命题是

 

．（填写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：考虑①时用基本不等式进行放缩；考虑②时，验证f（1-x）=f（x）；考虑③时，sinπx=0，故x=k，k为整数，可得零点的个数；
考虑④时，验证f（0）=f（1）=0，故无单调性；

解答： 解：考虑①：
函数f（x）=

sinπx

πx+π1-x

≤

1

2 πx•π1-x

=

1

2 π

，当且仅当x=

1

2

时取等号，故函数由最大值；
取x=-

1

2

，有f（-

1

2

）=

-1

π- 1 2 +π 3 2

＜

-1

1+4 3 2

＜-

1

9

，
当x＞10时，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
当x＜-9时，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
而f（x）在[-9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（-

1

2

），
所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．
故①正确；
考虑②：
因为f（1-x）=f（x），所以x=

1

2

为f（x）的对称轴，故②正确；
考虑③：
因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，
∴区间[-π，π]上有-3，-2，-1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；
考虑④：
f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；
综上①②③正确，
故答案为：①②③

点评：本题主要考查函数的有关性质，要分析函数的表达式，进行合理的变形，同时要验证特殊值．