Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示，其中∠ACB=

π

2

（Ⅰ）求ω与φ的值；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象经过怎样的变化可得到y=sinx的图象．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）设函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）的周期为T，依题意AC²+CH²=AH²，可求得T=

2π

ω

=4，于是可求得ω，继而可求得φ；
（2）由（1）可知f（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

4

），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可说明函数y=f（x）的图象经过怎样的变化可得到y=sinx的图象．

解答： 解：（1）设函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）的周期为T，则A（

1

2

，0），C（

3T

4

+

1

2

，-

3

），H（

1

2

+T，0），
∵∠ACB=

π

2

，
∴AC²+CH²=AH²，即

9

16

T²+3+

T2

16

+3=T²，解得：T=4，
∴ω=

2π

4

=

π

2

．
又

1

2

ω+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ-

π

4

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

4

．
（2）由（1）知，f（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

4

），
将f（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

4

）的图象向左平移

1

2

个单位，得到y=

3

sin

π

2

x的图象，再将得到的图象的横坐标伸长为原来的

π

2

倍（纵坐标不变），得到y=

3

sinx的图象，
最后将y=

3

sinx的图象的纵坐标变为原来的

3

3

（横坐标不变），得到y=sinx的图象．

点评：本题主要考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，考查正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换理论，属于基本知识的考查．