Question

8．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm³）的最大值为4$\sqrt{15}$cm³．

Answer 1

分析 由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，设OG=x，则BC=2$\sqrt{3}$x，DG=5-x，三棱锥的高h=$\sqrt{25-10x}$，求出S_△ABC=3$\sqrt{3}{x}^{2}$，V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×h$=$\sqrt{3}•\sqrt{25{x}^{4}-10{x}^{5}}$，令f（x）=25x⁴-10x⁵，x∈（0，$\frac{5}{2}$），f′（x）=100x³-50x⁴，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．

解答 解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，则BC=2$\sqrt{3}$x，DG=5-x，
三棱锥的高h=$\sqrt{D{G}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{25-10x+{x}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{25-10x}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×（2\sqrt{3}x）^{2}$=3$\sqrt{3}{x}^{2}$，
则V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×h$=$\sqrt{3}{x}^{2}×\sqrt{25-10x}$=$\sqrt{3}•\sqrt{25{x}^{4}-10{x}^{5}}$，
令f（x）=25x⁴-10x⁵，x∈（0，$\frac{5}{2}$），f′（x）=100x³-50x⁴，
令f′（x）≥0，即x⁴-2x³≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤$\sqrt{3}×\sqrt{80}$=4$\sqrt{15}$cm³，∴体积最大值为4$\sqrt{15}$cm³．
故答案为：4$\sqrt{15}$cm³．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．