Question

20．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD?平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD?平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD?平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA?平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=$\frac{1}{2}$PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2=1，
则三棱锥E-BCD的体积为$\frac{1}{3}$DE•S_△BDC=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．