Question

三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2b=a+c，2A=C，则cosA=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用正弦列出关系式，将2A=C代入，表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式并将b=

a+c

2

代入，设m=

c

a

，求出方程的解得到m的值，确定出

c

a

的值，即可得出cosA的值．

解答： 解：∵2A=C，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

sinA

=

c

sin2A

=

c

2sinAcosA

，
整理得：cosA=

c

2a

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

c

2a

，
将b=

a+c

2

代入得：

( a+c 2 )2+c2-a2

2• a+c 2 •c

=

5c2+2ac-3a2

4c2-4ac

=

5( c a )2+2• c a -3

4( c a )2-4• c a

=

c

2a

，
设m=

c

a

，则有

5m2+2m-3

4m2-4m

=

1

2

m，
解得：m=

3

2

，
则cosA=

3

4

．
故答案为：

3

4

点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．