Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{Sn}{n}$），n∈N^*均在函数的图象上．
（1）求数列的{a_n}通项公式；
（2）若{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₁b₂b₃=27，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）依题意得$\frac{S_n}{n}=n+1$，即${S_n}={n^2}+n$．当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，可得${b_1}{b_2}{b_3}=b_2^3=27$，解得b₂，又b₁=1，可得q=3，可得${a_n}+{b_n}=2n+{3^{n-1}}$．
再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）依题意得$\frac{S_n}{n}=n+1$，即${S_n}={n^2}+n$．
当n=1时，a₁=S₁=1+1=2，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n²-n）=2n，∵a₁=2满足上式，
∴a_n=2n（n∈N*）．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，∴${b_1}{b_2}{b_3}=b_2^3=27$，解得b₂=3，又b₁=1，∴$q=\frac{b_2}{b_1}=3$，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={3^{n-1}}$，∴${a_n}+{b_n}=2n+{3^{n-1}}$．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=2×（1+2+…+n）+（1+3+3²+…+3^n-1）
=$2×\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$
=n²+n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．