Question

2．已知函数f（x）的定义域为R，$f（\frac{1}{2}）=2$，且对任意的实数a，b满足f（a+b）=f（a）+f（b）-1，当$x＞-\frac{1}{2}$时，f（x）＞0．
（1）求$f（-\frac{1}{2}）$的值；
（2）求证：当x＞0时，f（x）＞1；
（3）求证：f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 （1）先求出f（0）=1，再求出求$f（-\frac{1}{2}）$的值；
（2）设x＞0，则x-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$，利用f（x）=f[（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-1＞f（$\frac{1}{2}$）-1，即可证明；
（3）设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0，且f（x₂）-f（x₁）=$f[{x_1}+（{x_2}-x_1^{\;}）]-f（{x_1}）$，即可证明．

解答 （1）解：令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，∴f（0）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$）-1=0，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（2）证明：设x＞0，则x-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$，
∴f（x）=f[（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-1＞f（$\frac{1}{2}$）-1=1；
（3）证明：设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0，且f（x₂）-f（x₁）=$f[{x_1}+（{x_2}-x_1^{\;}）]-f（{x_1}）$
=$f（{x_1}）+f（{x_2}-x_1^{\;}）-1-f（{x_1}）$=$f（{x_2}-x_1^{\;}）-1＞0$，
所以f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查抽象函数的单调性，考查赋值法的运用，正确赋值是关键．