Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$\overrightarrow{AC}?\overrightarrow{AB}=4$，且$\frac{{a}^{2}-{（b+c）}^{2}}{bc}=1$，则△ABC的面积等于（　　）

• A． $5\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosA，进而可求A的值，利用平面向量数量积的运算可求bc的值，即可利用三角形面积公式计算求值得解．

解答 解：由$\frac{{a}^{2}-{（b+c）}^{2}}{bc}=1$，得：$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，
得：$A=\frac{2π}{3}$，
又$\overrightarrow{AC}?\overrightarrow{AB}=4$，得：$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|cosA=-4$，得：$\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|cosA=-4$，
可得：bc=8，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积、三角形面积的求法，意在考查考生的运算求解能力，属于中档题．