题目内容

14．已知直线y=ex+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为$\frac{3}{e}$．

分析 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．

解答 解：设切点P（x0，y0），则y0=ex0+1，y0=ln（x0+a），
又∵$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+a}$=e
∴x0+a=$\frac{1}{e}$，x0=$\frac{1}{e}$-a
代入y0=ln（x0+a），
∴y0=-1，
y0=-1代入y0=ex0+1，
解得x0=-$\frac{2}{e}$，
x0=-$\frac{2}{e}$代入x0+a=$\frac{1}{e}$，
∴a=$\frac{3}{e}$．
故答案为$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线方程，考查计算能力．

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