Question

5．在等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，求数列{c_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{b_n}的公差为d，由已知得：
a₂=3q，a₃=3q²，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d．
即$\left\{\begin{array}{l}3q=3+3d\\ 3{q^2}=3+12d\end{array}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}}\right.（舍）$，∴d=2．
∴a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）${S_n}=（3+{3^2}+…+{3^n}）+（-3+5-7+…+4n+1）$
=$\frac{{3-{3^{n+1}}}}{1-3}+（-3+5）+（-7+9）+…[-（4n-1）+（4n+1）]$
=$\frac{{{3^n}-3}}{2}+（\underbrace{2+2+…+2}_{n个}）$
=$\frac{{{3^n}-3}}{2}+2n$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．