Question

14．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多 可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

分析 （1）依题意，p₁=0.2，p₂=0.7，p₃=0.1．由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）记水电站年总利润为Y，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．

解答 解：（1）依题意，p₁=P（40＜X＜80）=$\frac{10}{50}$=0.2，
p₂=P（80≤X≤120）=$\frac{35}{50}$=0.7，
p₃=P（X＞120）=$\frac{5}{50}$=0.1．
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p=${C}_{4}^{0}$（1-p₃）⁴+${C}_{4}^{1}$（1-p₃）³p₃=0.9⁴+4×0.9³×0.1=0.9477．…（5分）
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．…（7分）
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000-160=840，因此P（Y=840）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2；
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X≥80）=p₂+p₃=0.8．
由此得Y的分布列如下：

Y	840	2 000
P	0.2	0.8

所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000-320=680，
因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2；
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2-160=1840，
因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7；
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，
因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p₃=0.1．
由此得Y的分布列如下：

Y	680	1840	3 000
P	0.2	0.7	0.1

所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．