Question

6．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+c是奇函数，且满足f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）由函数是奇函数得到c=0，再利用题中的2个等式求出a、b的值．
（2）区间（0，$\frac{1}{2}$）上任取2个自变量x₁、x₂，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{5}{2}}\\{f（2）=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\frac{5}{2}}\\{2a+\frac{b}{2}=\frac{14}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）∵由（1）问可得f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
∴f（x）在区间（0，0.5）上是单调递减的；
证明：设任意的两个实数0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+$\frac{1}{{2x}_{1}}$-$\frac{1}{{2x}_{2}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）（1-{{4x}_{1}x}_{2}）}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
又∵0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜$\frac{1}{4}$，1-4x₁x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在区间（0，0.5）上是单调递减的．

点评 本题考查用待定系数法求解析式，证明函数的单调性．