Question

已知函数f（x）=log_a

3-x

3+x

．（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求不等式f（x）≥log_a（2x）的解．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数函数的性质确定函数的定义域．
（2）根据奇函数的定义判断即可．
（3）根据对数函数的单调性和对数的运算性质，进行分类讨论，即可

解答： 解：（1）要是函数有意义，则

3-x

3+x

＞0，
解得-3＜x＜3，
故函数f（x）的定义域为（-3，3）
（2）f（-x）=log_a

3+x

3-x

=log_a（

3-x

3+x

）^-1=-log_a

3-x

3+x

=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数
（3）∵f（x）=log_a

3-x

3+x

≥log_a（2x）．
当0＜a＜1时，

3-x

3+x

≤2x，解得x≥

-7+ 73

4

，或x≤

-7- 73

4

，
∴x∈[

-7+ 73

4

，3）
当a＞1时，

3-x

3+x

≥2x，解得

-7- 73

4

≤x≤

-7+ 73

4

，
∴x∈（-3，

-7+ 73

4

]

点评：本题主要考查对数函数的性质和运算及不等式的解法，要求熟练掌握对数函数的图象和性质是关键．