Question

已知圆P过点A（1，0），B（4，0），且圆心P的纵坐标为2，以坐标原点为对称中心且焦点落在y轴上的椭圆Ω的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，过点A作一条不与x轴垂直的直线l与椭圆Ω交于C，D两点．
（1）求圆P的标准方程；
（2）若x轴恰好为∠CBD的角平分线，求椭圆Ω的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,圆的标准方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出圆的圆心坐标，再由两点间的距离求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）求出双曲线的离心率，得到椭圆的离心率，进一步得到椭圆长半轴长和短半轴长的关系，得到椭圆方程，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合x轴恰好为∠CBD的角平分线列式求得b，则椭圆方程可求．

解答： 解：（1）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵A（1，0），B（4，0），且圆心P的纵坐标为2，
∴圆心坐标为（

5

2

，2），则半径为

( 5 2 -1)2+(2-0)2

=

5

2

．
∴圆P的标准方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

；
（2）由题意设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵与双曲线x²-y²=1的离心率为

2

，∴椭圆的离心率为

2

2

，
即

c

a

=

2

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，则a²=2b²．
∴椭圆方程为2x²+y²=2b²．
如图，

设过A的直线l的方程为y-0=k（x-1），即y=kx-k．
联立

y=kx-k 2x2+y2=2b2

，得（2+k²）x²-2k²x+k²-2b²=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x1+x2=

2k2

k2+2

，x1x2=

k2-2b2

k2+2

，
由x轴恰好为∠CBD的角平分线，得

y1

x1-4

=-

y2

x2-4

，即2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=0．
∴

2k2-4b2

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0，即b²=4．
∴椭圆方程为：

y2

8

+

x2

4

=1．

点评：本题考查了圆的标准方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中高档题．