Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，D、E分半为CC₁、AB的中点．
（1）求异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求证：AD⊥A₁E；
（3）求点D到平面B₁C₁E的距离．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值．
（2）求出

AD

=（0，-4，2），

A1E

=（

3

2

，-2，-4），利用向量法能证明AD⊥A₁E．
（3）求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出点D到平面B₁C₁E的距离．

解答： （1）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC⊥AC，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，
CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，4，0），D（0，0，2），
A₁（0，4，4），B₁（3，0，4），

AD

=（0，-4，2），

A1B1

=（3，-4，0），
cos＜

AD

，

A1B1

＞=

16

20 × 25

=

8 5

25

．
∴异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值为

8 5

25

．
（2）证明：A（0，4，0），B（3，0，0），
E（

3

2

，2，0）

AD

=（0，-4，2），

A1E

=（

3

2

，-2，-4），
∴

AD

•

AE

=0+8-8=0，∴

AD

⊥

A1E

∴AD⊥A₁E．
（3）解：D（0，0，2），B₁（3，0，4），C₁（0，0，4），E（

3

2

，2，0），

B1C1

=（-3，0，0），

B1E

=（-

3

2

，2，-4），

B1D

=（-3，0，2），
设平面B₁C₁E的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • B1C1 =-3x=0 n • B1E =- 3 2 x+2y-4z=0

，取y=2，得

n

=（0，2，1），
∴点D到平面B₁C₁E的距离d=

| B1D • n |

| n |

=

|2|

5

=

2 5

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意向量法的合理运用．