Question

若实数x、y满足等式 （x-2）²+y²=3，那么x+2y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：令t=x+2y，则y=-

1

2

x+

t

2

表示过圆上一点的直线．且当直线在y轴上截距最大时，x+2y有最大值．画出满足等式（x-2）²+y²=3的图形，由数形结合，我们易求出x+2y的最大值．

解答： 解：令t=x+2y，
则y=-

1

2

x+

t

2

．
当直线在y轴上截距最大时，x+2y有最大值．
又∵直线过圆上一点
由图可得，当直线与圆相切并且切点在第一象限时，
直线在y轴上的截距最大，此时x+2y取最大值．
∴圆心到直线的距离
d=

|2-t|

5

=

3

∴t=2±

15

又∵切点在第一象限
∴t=2+

15

此时，x+2y=2+

15

所以，x+2y的最大值为2+

15

．

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，分析出直线在y轴上截距最大时，x+2y有最大值是解答本题的关键．