Question

5．设z=3x+4y，式中变量x，y满足下列条件：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤12}\\{2x+y≤16}\\{-x+2y≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$由图象可知当直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$经过点O时，直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最小，
此时z最小，最小值为z=0，
当直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$经过点A时，直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=12}\\{2x+y=16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{20}{3}$，$\frac{8}{3}$），
此时z最大值z=3×$\frac{20}{3}$+$\frac{8}{3}$×4=$\frac{92}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键考查学生的作图能力．