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2．已知数列{an}是首项为1的正项数列，且a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0，求数列的通项公式an．

分析 a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0，因式分解为：（an+1-2an+3）（an+1+an）=0，由an+1+an＞0，可得an+1-2an+3=0，变形即可证明．

解答 解：∵a${\;}_{n+1}^{2}$+3an+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3an-anan+1=0，
∴（an+1-2an）（an+1+an）+3（an+1+an）=0，
化为：（an+1-2an+3）（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，
∴an+1-2an+3=0，
化为：an+1+3=2（an+3），a1+3=4．
∴数列{an-3}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴an+3=4×2n-1，
可得an=2n+1-3．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+n（n∈N*）．
（1）求证数列{an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log2（-an+1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n项和Tn．

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