Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3ⁿ+k．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a₁=3+k，a₂=6，a₃=18，由18（3+k）=36，解得k=-1．由此能求an=2•3n-1．
（2）由a_nb_n=n，得bn=

n

an

=

n

2•3n-1

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3ⁿ+k．
∴a₁=3+k，a₂=S₂-S₁=9-3=6，
a₃=S₃-S₂=27-9=18，
∴18（3+k）=36，解得k=-1．
∴Sn=3n-1，a₁=2，q=

6

2

=3，
∴an=2•3n-1．
（2）∵a_nb_n=n，∴bn=

n

an

=

n

2•3n-1

，
∴T_n=

1

2

×

1

30

+

2

2

•

1

3

+

3

2

•

1

32

+…+

n

2

•

1

3n-1

，①

1

3

Tn=

1

2

•

1

3

+

2

2

•

1

32

+

3

2

•

1

33

+…+

n

2

•

1

3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=

1

2

(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)-

n

2

•

1

3n

=

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

2

•

1

3n

=

3

4

-（

3

4

+

n

2

）•

1

3n

，
∴T_n=

9

8

-（

3

8

+

n

4

）•

1

3n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．