题目内容
设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）•f（y）．当x＞0时，f（x）＞1，f（1）=2．
（1）求f（0）和f（3）的值；
（2）证明f（x）是增函数．
（1）求f（0）和f（3）的值；
（2）证明f（x）是增函数．
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的值
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）令y=0，代入求得f（0）=1，利用迭代求f（3）；
（2）由题意可推出f（x）＞0，由定义法可证明f（x）是增函数．
（2）由题意可推出f（x）＞0，由定义法可证明f（x）是增函数．
解答：
解：（1）由题意，令y=0，则
f（x）=f（x）f（0），
∵f（x）不恒等于0，
故f（0）=1；
f（3）=f（2）f（1）
=2f（2）=2f（1）f（1）=8；
（2）证明：任取x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+x2-x1）
=f（x1）-f（x1）f（x2-x1）
=f（x1）（1-f（x2-x1））
又∵f（0）=f（-x）f（x）=1，当x＞0时，f（x）＞1；
∴f（x1）＞0，f（x2-x1）＞1；
故f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是R上的增函数．
f（x）=f（x）f（0），
∵f（x）不恒等于0，
故f（0）=1；
f（3）=f（2）f（1）
=2f（2）=2f（1）f（1）=8；
（2）证明：任取x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+x2-x1）
=f（x1）-f（x1）f（x2-x1）
=f（x1）（1-f（x2-x1））
又∵f（0）=f（-x）f（x）=1，当x＞0时，f（x）＞1；
∴f（x1）＞0，f（x2-x1）＞1；
故f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是R上的增函数．
点评：本题考查了抽象函数的应用，同时考查了函数的单调性的证明，属于中档题．
练习册系列答案
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某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．向量
=（7，-5），将
按向量
=（3，6）平移后得向量
，则
的坐标形式为（ ）
| AB |
| AB |
| a |
| A′B′ |
| A′B′ |
| A、（10，1） |
| B、（4，-11） |
| C、（7，-5） |
| D、（3，6） |