Question

已知数列{a_n}中，

a

1

=

1

4

，a_n=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)．若数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

(n∈N+)．
（1）证明：数列{b_n}是等差数列，并写出{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式及数列{a_n}中的最大项与最小项．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，b1=

1

a1-1

=-

4

3

，由此能证明数列{b_n}是以-

4

3

为首项，以1为公差的等差数列，从而能求出{b_n}的通项公式．
（2）由b_n=n-

7

3

=

1

an-1

，得an=1+

1

n- 7 3

=1+

3

3n-7

，n∈N^*，当n≥3时，数列{a_n}是递减数列，且a_n＞1，由此求出数列的前3项，从而能求出数列{a_n}中的最大项和最小项．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，

a

1

=

1

4

，a_n=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)，
∴an-1=

an-1-1

an-1

，∴

1

an-1

=

an-1-1+1

an-1-1

=1+

1

an-1-1

，
∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，
∴数列{b_n}是以1为公差的等差数列，
∵b_n=

1

an-1

，∴b_n-b_n-1=1，
又∵a1=

1

4

，∴b1=

1

a1-1

=-

4

3

，
∴数列{b_n}是以-

4

3

为首项，以1为公差的等差数列，
∴bn=-

4

3

+(n-1)×1=n-

7

3

．n∈N^*．
（2）解：∵b_n=n-

7

3

=

1

an-1

，∴an=1+

1

n- 7 3

=1+

3

3n-7

，n∈N^*
当n≥3时，数列{a_n}是递减数列，且a_n＞1，
列举a₁=1+

3

3-7

=

1

4

，
a2=1+

3

6-7

=-2，
a3=1+

3

9-7

=

5

2

，
∴数列{a_n}中的最大项为a₃=

5

2

，最小项为a₂=-2．

点评：本题考查数列是等差数列的证明，考查数列{b_n}的通项公式的求法，考查数列{a_n}的通项公式及数列{a_n}中的最大项与最小项的求法，是中档题．