Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使直线PF与AD所成角为60°？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，由已知O，M分别是AC，EF的中点，ACEF是矩形，容易得到AM∥OE，利用线面平行的性质可证；
（2）设CP=T（0≤T≤2），作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，得到PQ⊥平面ABF，再由△PAQ为等腰直角三角形，△PAF为直角三角形，得到关于t的等式解之得到t=1即可．

解答： （1）证明：记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O，M分别是AC，EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE…（4分）
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．…（6分）
（2）设CP=T（0≤T≤2），
作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB∩AF=A，
∴PQ⊥平面ABF，
QF?平面ABF，
∴PQ⊥QF．
在RT△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ．…（9分）
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴PQ=

2

2

（2-t）
又∵△PAF为直角三角形，
∴PF=

(2-t)2+1

，
∴

(2-t)2+1

=2-

2

2

(2-t)，∴t=1或t=3（舍去）．
∴点P是AC的中点．…（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的性质的运用，结合等腰直角三角形的性质求t，体现了代数思想．