Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n）．若函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，bn=f-1(n)，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2

x

确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求b_n．；
（2）对（1）中的{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)（λ为正整数），若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}（公共项t_k=c_p=d_q，k，p，q为正整数），求数列{t_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求出函数f(x)=2

x

的反函数，取x为n则数列{b_n}的通项公式可求；
（2）把（1）中求出的b_n的通项公式代入不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)，化简后求由单调性求出

1

2

loga(1-2a)的范围，解对数不等式求得a的取值范围．
（3）分λ为奇偶数求出{d_n}，{c_n}，由c_p=d_q得到p，q的关系，再结合{c_n}?{d_n}求得数列{t_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由f(x)=2

x

，得
f-1(x)=

x2

4

(x≥0)，则bn=

n2

4

(n∈N*)；
（2）把bn=

n2

4

代入不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
则不等式化为：

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
设Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
∵Tn+1-Tn=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，∴{T_n}单调递增，
则（T_n）_min=T₁=1．因此

1

2

loga(1-2a)＜1，即log_a（1-2a）＜2．
∵1-2a＞0，∴a＜

1

2

，
由

0＜a＜ 1 2 1-2a＞a2

，得0＜a＜

2

-1；
（3）当λ为奇数时，c_n=2n-1，dn=

1

2

(n+1)．
由2p-1=

1

2

(q+1)，则q=4p-3，
即{c_n}?{d_n}，因此t_n=2n-1，
∴Sn=n2．
当λ为偶数时，cn=3n，d_n=log₃n．
由3^p=log₃q得q=33p，即{c_n}?{d_n}，因此tn=3n，
∴Sn=

3

2

(3n-1)．

点评：本题是新定义题，考查数列与不等式的综合，考查了函数反函数的求法，训练了利用数列的单调性求数列和的最值，训练了对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．