Question

3．已知sinα，cosα是方程x²+ax+2b²=0的两个根，且0≤α＜2π，a，b为整数，求角α

Answer 1

分析 由题意可知，sinα+cosα=-a，sinα•cosα=2b²，且a²-8b²≥0．由sinα+cosα=-a，结合a为整数可得a=-1或0或1，然后分类求出α，进一步求得b的值验证a²-8b²≥0得答案．

解答 解：∵sinα，cosα是方程x²+ax+2b²=0的两个根，
∴sinα+cosα=-a，sinα•cosα=2b²，且a²-8b²≥0．
由a=-（sinα+cosα）=-$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$$∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且a为整数，
得a=-1或0或1，
若a=-1，则$-\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=-1，sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤α＜2π，∴$\frac{π}{4}≤α+\frac{π}{4}＜\frac{9π}{4}$，
得$α+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，$α=\frac{π}{2}$，
此时b=0，符合a²-8b²≥0；
若a=1，则$-\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=1，sin（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤α＜2π，∴$\frac{π}{4}≤α+\frac{π}{4}＜\frac{9π}{4}$，
得$α+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$或$α+\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{4}$，即α=π或$α=\frac{3π}{2}$，
此时b=0，符合a²-8b²≥0；
若a=0，则$-\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=0，sin（$α+\frac{π}{4}$）=0，
∵0≤α＜2π，∴$\frac{π}{4}≤α+\frac{π}{4}＜\frac{9π}{4}$，
得$α+\frac{π}{4}$=π或$α+\frac{π}{4}$=2π，即α=$\frac{3π}{4}$或$α=\frac{7π}{4}$，
由sinα•cosα=2b²可知b≠0，不满足a²-8b²≥0．
综上，α=$\frac{π}{2}$或α=π或α=$\frac{3π}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．