Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上一点（异于右顶点），△PF₁F₂的内切圆与x轴切于点（2，0），过F₂作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|=b²的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为K（x，0），L、M分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF₁|-|PF₂|=（PL+LF₁）-（PM+MF₂），由此得到△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标．即为a=2，运用对称思想，即可得到b＞2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞2$\sqrt{2}$，再由e=$\frac{c}{a}$，即可得到所求范围．

解答 解：点P是双曲线右支上一点，
由双曲线的定义，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
若设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为K（x，0），
该点也是内切圆与横轴的切点．
设L、M分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．
考虑到同一点向圆引的两条切线相等：
则有：PF₁-PF₂=（PL+LF₁）-（PM+MF₂）
=LF₁-MF₂=KF₁-F₂K
=（c+x）-（c-x）
=2x=2a，即x=a，
所以内切圆的圆心横坐标为a．
由题意可得a=2，
再由过F₂作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|=b²的直线l恰有三条，
可得与双曲线的两支各有一个交点的有两条（关于x轴对称），还有一条为过F₂垂直于x轴的直线，
即有b²=$\frac{2{b}^{2}}{a}$且b²＞2a，即b＞2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞2$\sqrt{2}$，
则e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及对称性的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．