Question

10．已知函数f（x）=2|x+1|+|2x-a|（x∈R）．
（1）当a＞-2时，函数f（x）的最小值为4，求实数a的值；
（2）若对于任意，x∈[-1，4]，不等式f（x）≥3x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可；（2）问题等价于|2x-a|≥x-2恒成立，通过讨论x的范围，求出a的范围即可．

解答 解：（1）将函数分段为：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-a+2，x≥\frac{a}{2}}\\{a+2，-1＜x＜\frac{a}{2}}\\{-4x+a-2，x≤-1}\end{array}}\right.a$，
∴当且仅当$-1≤x≤\frac{a}{2}$时，f（x）_min=a+2，
由题意得a+2=4，即a=2．
（2）当x∈[-1，4]时f（x）≥3x恒成立?|2x-a|≥x-2恒成立，
若-1≤x＜2，不等式恒成立，此时a∈R；
若2≤x≤4，|2x-a|≥x-2?2x-a≥x-2或2x-a≤（x-2），
即a≤x+2或a≥3x-2在x∈[2，4]恒成立，所以a≤4或a≥10，
综上知，所求实数a的取值范围是（-∞，4]∪[10，+∞）．

点评 本题考查了分段函数问题，考查解不等式问题，是一道中档题．